Ejemplo 6:

Dibujar la gráfica de  

1.      Hay varios apartados:

·         Cortes con los ejes:   Si hacemos  Es decir, la gráfica pasa por el punto .

Si hacemos . Es decir la gráfica pasaría por los puntos  y

·         Dominio: Será todo , la función existe para cualquier valor de .

·          

·         Asíntotas:

1.      Verticales:   es una asíntota vertical si . No hay ningún valor de  que haga tender al función hacia

2.      Horizontales:    es una asíntota horizontal si  . Es decir, la función no tiene asíntotas horizontales.

3.      Oblicuas:  Si la recta  es una asíntota de la función entonces   y

             No existen asíntotas oblicuas.

·         Simetrías: Comprobamos que .

                              Es decir,  la función no tiene simetrías.

2.      Hay varios apartados:

·         Puntos que anulen la primera derivada:

. Luego los puntos en los que se anula la primera derivada son   ,   y .

·         Puntos que anulen la segunda derivada:

            Se anula en los puntos  y  donde tendrá los puntos de inflexión.

3.      Hay varios apartados:

·         Si sustituimos el valor de  en la segunda derivada tenemos  Lo que nos quiere decir que estamos ante un mínimo. En  ya hemos visto que se trata de un punto de inflexión.

·         Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función observamos que  es siempre positivo, por lo que sólo es necesario estudiar el signo de . Luego la primera derivada será negativa si  y positiva si  En conclusión:

            En el intervalo   la función decrece, pues   en este intervalo.

En el intervalo  la función crece, pues    en este intervalo.

Como se puede ver la función en el punto    ha pasado de decrecer a crecer, lo que quiere decir que estamos ante un mínimo, como ya habíamos visto (¿más fácil que obtener la segunda derivada?). Se puede ver también que en el punto  la función pasa de crecer a crecer, y en el  pasa igualmente de crecer a crecer, es decir, son puntos de inflexión como ya habíamos visto.

·        Si observamos la segunda derivada vemos el siguiente diagrama                                                           

            Luego en el intervalo  la derivada segunda  Cóncava hacia abajo.

            Y en los intervalos  la derivada segunda  Cóncava hacia arriba.

4.      Ahora ordenamos los resultados para dibujarlos:

Puntos de corte con los ejes:

                                                    y   

Dominio:     

Asíntotas:     No hay asíntotas      

Crecimiento y decrecimiento:     Decrece en

                                                      Crece en 

Concavidad:    Cóncava hacia abajo

                         Cóncava hacia arriba  

Dibujamos la gráfica:

Resolvemos el ejemplo con Derive: PULSAR