Ejemplo 5:

Dibujar la gráfica de  

1.      Hay varios apartados:

·         Cortes con los ejes:   Si hacemos  Es decir, la gráfica pasa por el punto .

Si hacemos . Es decir la gráfica pasaría por los puntos  y

·         Dominio: Será todo , la función existe para cualquier valor de .

·         Asíntotas:

1.      Verticales:   es una asíntota vertical si . No hay ningún valor de  que haga tender al función hacia .

2.      Horizontales:    es una asíntota horizontal si  . Es decir, la no hay asíntotas horizontales.

3.      Oblicuas:  Si la recta  es una asíntota de la función entonces   y

             No existen asíntotas oblicuas.

·         Simetrías: Comprobamos que .

                              Es decir,  la función no tiene simétricas.

2.      Hay varios apartados:

·         Puntos que anulen la primera derivada:

            . Luego los puntos en los que se anula la primera derivada son   y     

·         Puntos que anulen la segunda derivada:

            Luego en el punto tiene un  punto de inflexión.

3.      Hay varios apartados:

·         Si sustituimos el valor de  en la segunda derivada tenemos  Lo que nos quiere decir que estamos ante un máximo. Si sustituimos el valor  en la segunda derivada tenemos  Lo que quiere decir que estamos ante un mínimo.

·         Para estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función nos vamos a guiar por el siguiente diagrama:

En el intervalo   la función crece, pues  en estos intervalos.

En el intervalo  la función decrece, pues    en estos intervalos.

Como se puede ver la función en el punto    ha pasado de crecer a decrecer, lo que quiere decir que estamos ante un máximo, y en el punto  pasa de decrecer a crecer, lo que quiere decir que estamos ante un mínimo, como ya habíamos visto (¿más fácil que obtener la segunda derivada?).

·        Si observamos la segunda derivada vemos que el denominador es siempre positivo, por lo que para estudiar la concavidad sólo tenemos que centrarnos en el numerador. El numerador es negativo si y es negativo cuando                                                            

            Luego en el intervalo   la derivada segunda  Cóncava hacia abajo.

            Y en los intervalos  la derivada segunda  Cóncava hacia arriba.

4.      Ahora ordenamos los resultados para dibujarlos:

Puntos de corte con los ejes:

                                                    Máximo  y   

Dominio:     

Asíntotas:    No tiene

Crecimiento y decrecimiento:     Decrece en

                                                      Crece en 

Concavidad:    Cóncava hacia abajo 

                         Cóncava hacia arriba 

Dibujamos la gráfica:

Resolvemos el ejemplo con Derive: PULSAR