Ejemplo 3:

Dibujar la gráfica de  

1.      Hay varios apartados:

·         Cortes con los ejes:   Si hacemos  Es decir, la gráfica no corta al eje de ordenadas.

Si hacemos , pero la ecuación  no tiene soluciones reales, luego el único punto de corte con el eje de abcisas sería en , es decir, el  .

·         Dominio: Será todo  excepto en los puntos en los que se anula el denominador, en . Es decir, el dominio será      

·         Asíntotas:

1.      Verticales:   es una asíntota vertical si . Esto quiere decir que, las únicas asíntotas posibles serían en aquellos puntos en los que se anulara el denominador.  Sería en  .

Ahora tenemos que comprobar si es asíntota:

   Luego    es una asíntota.

2.      Horizontales:  es una asíntota horizontal si  . Es decir, no hay asíntotas horizontales.

3.      Oblicuas:  Si la recta  es una asíntota de la función entonces   y

            Luego existe una asíntota oblicua  que es la recta

·         Simetrías: Comprobamos que .

                              Es decir,  la función no tiene simetrías.

2.      Hay varios apartados:

·         Puntos que anulen la primera derivada:

            . Luego el punto en el que se anula la primera derivada es el  

·         Puntos que anulen la segunda derivada:

            No se anula nunca y por tanto no tiene puntos de inflexión.

3.      Hay varios apartados:

·         Si sustituimos el valor de  en la segunda derivada tenemos  Lo que nos quiere decir que estamos ante un mínimo.

·         Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento nos basamos en el signo de la derivada primera, y para su estudio nos vamos a apoyar en el siguiente diagrama:

      En el intervalo   la función decrece, pues  en estos intervalos.

En el intervalo  la función crece, pues    en estos intervalos.

Como se puede ver la función en el punto    ha pasado de decrecer a crecer, lo que quiere decir que estamos ante un mínimo, como ya habíamos visto (¿más fácil que obtener la segunda derivada?).

·        Si observamos la segunda derivada vemos que el numerador es siempre positivo, por lo que para estudiar la concavidad sólo tenemos que centrarnos en el denominador. El denominador es siempre positivo,  , luego la segunda derivada es siempre positiva, salvo en los puntos en los que no exista, es decir en

            Luego en los intervalos  la derivada segunda  Cóncava hacia arriba.

4.      Ahora ordenamos los resultados para dibujarlos:

Puntos de corte con los ejes:   

Dominio:     

Asíntotas:      

Crecimiento y decrecimiento:     Decrece en

                                                      Crece en 

Concavidad:   Cóncava hacia arriba 

Dibujamos la gráfica:

Resolvemos el ejemplo con Derive: PULSAR